直线y=kx+1是过定点（0，1）的直线系方程，曲线x=

y2+1

表示双曲线x²-y²=1的右支

将y=kx+1代入双曲线x²-y²=1，消元可得（1-k²）x²-2kx-2=0

∵直线y=kx+1与曲线x=

y2+1

有两个不同的交点，

∴方程（1-k²）x²-2kx-2=0有两个不等的正根

∴

4k2+8(1-k2)＞0 2k 1-k2 ＞0 - 2 1-k2 ＞0

，∴-

2

＜k＜-1

∴k的取值范围是-

2

＜k＜-1

故答案为：-

2

＜k＜-1