（1）由题意，直线方程为y=1，代入曲线C：ax²+y²=2可得 A(-

1 a

，1)，B(

1 a

，1)

∵∠AOB=

π

3

，∴tan300 =

1 a

，∴a=3

∴曲线C的方程为3x²+y²=2

（2）将直线l：y=mx+1与曲线C：ax²+y²=2联立，化简得（a+m²）x²+2mx-1=0

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则知 x1+x2=-

2m

m2+a

，x1x2=

-1

m2+a

，

∴x₁x₂+y₁y₂=

-1

m2+a

+（mx₁+1）（mx₂+1）=

m 2-1

m2+a

+1

对任意m∈R，都有

OA

•

OB

=T成立．

得x₁x₂+y₁y₂=T定值，

∴可有a=-1，此时T=2；

（3）由（2）知 x1+x2=

2m

m2-2

，y1+y2=

4m2-4

m2-2

设P（x，y），则（x，y+1）=（x₁+x₂，y₁+y₂）

∴x=-

2m

m2-2

，y=-

m2+2

m2-2

消去m得：（y-2）²-2x²=1，此即为点P的轨迹方程；

（4）由（2）知：

OA

•

OB

=

m 2-1

m2+a

+1，

对于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，

故取M的值大于2时，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，

故存在常数M，使得对于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，

M得最小值为2．