问题
解答题
已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离等于点P到直线l的距离，动直线PO与直线l交于动点N，过N且平行于x轴的直线与动直线PF交于动点Q．
（Ⅰ）求证：动点P、Q在同一条曲线C上运动；
（Ⅱ）曲线C在点P处的切线与直线l交于点R，M为线段PQ的中点．
（1）求证：直线RM∥x轴；
（2）若直线RM平分∠PRF，求直线PQ的方程．
答案
（I）点P在曲线C：y2=4x上
令P(
，y1)，OP：y=y 21 4
x，N(-1，-4 y1
)4 y1
Q(
，-4 y12
)4 y1
NQ：y=-
，PF：y=4 y1
(x-1)4y1 y12-4
将直线NQ的方程代入直线PF的方程消去y1，得y2=4x
∴点Q在曲线C上．
（II）
（1）∵y=2
，y′=x
，kPR=1 x 2 y1
∴PR：y-y1=
(x-2 y1
)y 21 4
∴R：(-1，
-y1 2
)，M(2 y1
+y12 8
，2 y12
-y1 2
)2 y1
显然RM∥x轴
(2)PR与x轴交于A(-
，0)y 21 4
若RM平分∠PRF，且RM∥x轴
∴|AR|=|RF|
即
-1=2，y 21 4
=12y 21
∵y1＞0∴y1=23
∴P（3，2
），又F（1，0）3
∴PF：y=
(x-1)3
即直线PQ的方程为y=
(x-1)3