已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）若a＞0且bc≠0，f（0）=-1

问题解答题

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（Ⅰ）若a＞0且bc≠0，f（0）=-1，|f（-1）|=|f（1）|=1，试求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），方程f(x)=

[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于（x₁，x₂）．

答案

（Ⅰ）令x=0，则|f（0）|=|c|=1，令x=-1，则f（-1）=a-b+c=1，令x=1，则|f（1）|=|a+b+c|=1，下面分类讨论，①若f（0）=f（-1）=1，由于二次函数只能有两根相同，则f（1）=-1 所以c=1，a-b+c=1，a+b+c=-1 解得a=-1，b=-1，c=1，不符合a＞0的条件，舍去 ②若f（1）=1，则f（0）=-1 c=-1，a+b+c=1，a-b+c=1，解得a=2，b=0，c=-1，不符合bc≠0的条件，舍去 ③若f（1）=-1，f（0）=-1，则 c=-1，a+b+c=-1，a-b+c=1 解得a=1，b=-1，c=-1，满足综上所述：f（x）=x²-x-1．

（Ⅱ）证明：当x2＜-

或x1＞-

时：可知f（x）在（x₁，x₂）内是单调的．

设f（x₁）＜f（x₂），

则必有f（x₁）＜

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（x₂），

因此必然存在实数m∈（x₁，x₂）满足f（m）=

[f（x₁）+f（x₂）]．

同理当f（x₁）＞f（x₂）时也成立．当x₁＜-

且x₂＞-

时：若-

＜-x₁＜x₂+

，

可设x₁′=-

-x₁，

则有f（x₁′）=f（x₁），

且f（x）在（x₁′，x₂）是单调的，以后证法同上．

同理当-

＞-x₁＞x2+

时也成立．

综上所述：方程f(x)=

[f(x1)+f(x2)]有两个不等实根，必有一实根属于（x₁，x₂）．