（1）由f（1）=0可得a+b+c=0，a+c=-b ①，

由f（m）=-a可得 ax²+bx+c+a=0 有实数根，故判别式△=b²-4a（c+a）≥0 ②．

由①②可得 b²+4ab=b（b+4a）≥0，

∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0，∴b≥0．

∴二次函数f（x） 的对称轴为x=-

b

2a

≤0，故f（x） 在（0，+∞）上是增函数．

（2）由于x₁、x₂是f（x）+bx=0的不等实根，故x₁+x₂=-

2b

a

，x₁•x₂=

c

a

，

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- 2b a )2- 4ac a2

=

4( c a + 1 2 )2+3

．

由a＞b=-（a+c） 可得 2a＞-c，∴

c

a

＞-2．

又a+c=-b≤0，可得

c

a

≤-1．

综上可得-2＜

c

a

≤-1，-

3

2

＜

c

a

+

1

2

≤-

1

2

，故

1

4

≤(

c

a

+

1

2

)2＜

9

4

，

∴2≤|x₁-x₂|＜2

3

，故|x₁-x₂|的取值范围是[2，2

3

）．

（3）∵f（1）=0，故可设f（x）=a（x-1）（x-

c

a

）．

∵f（m）=-a，∴a（m-1）（m-

c

a

）=-a，（m-1）（m-

c

a

）=-1＜0．

∵

c

a

＜0，∴

c

a

＜m＜1，∴m＞-2，m+3＞1，故f（x）在[0，+∞）上是增函数，

故有 f（m+3）＞f（1）=0．