问题 解答题

已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1),其中n∈N*

(1)求证:数列{an}成等比数列;

(2)设数列{bn}满足bn=log3an. 若 cn=anbn,求数列{cn}的前n项和.

答案

(1)由题得an=Sn-Sn-1=

3
2
(an-an-1)(n≥2)…(2分)所以an=3an-1故有
an
an-1
=3(n≥2)
…(4分)

S1=

3
2
(a1-1)=a1,解得a1=3,所以数列{an}成等比数列…(6分)

由(1)得an=3n,则bn=log3an=log33n=n…(8分)故有 cn=anbn=n3n

设Tn=1•31+2•32+3•33+…+(n-1)3n-1+n•3n

3Tn=1•32+2•33+3•34+…+(n-1)3n+n•3n+1…(10分)

则 -2Tn=(31+32+33+…+3n)-n•3n+1=

3(1-3n)
1-3
-n•3n+1

所以Tn=

(2n-1)3n+1+3
4
…(14分)

单项选择题
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