问题
解答题
已知数列{an}的前n项和Sn满足条件2Sn=3(an-1),其中n∈N*.
(1)求证:数列{an}成等比数列;
(2)设数列{bn}满足bn=log3an. 若 cn=anbn,求数列{cn}的前n项和.
答案
(1)由题得an=Sn-Sn-1=
(an-an-1)(n≥2)…(2分)所以an=3an-1故有3 2
=3(n≥2)…(4分)an an-1
又S1=
(a1-1)=a1,解得a1=3,所以数列{an}成等比数列…(6分)3 2
由(1)得an=3n,则bn=log3an=log33n=n…(8分)故有 cn=anbn=n3n
设Tn=1•31+2•32+3•33+…+(n-1)3n-1+n•3n
3Tn=1•32+2•33+3•34+…+(n-1)3n+n•3n+1…(10分)
则 -2Tn=(31+32+33+…+3n)-n•3n+1=
-n•3n+13(1-3n) 1-3
所以Tn=
…(14分)(2n-1)3n+1+3 4