已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x0

问题解答题

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀）（a为常数）．
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），若

=λ

，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

答案

（I）由题意可设抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），

由过点p（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀），得

∴y′|x=x0=-

=2ax0，

因此p=-

．

∴抛物线的方程为y=ax²（a＜0）．

（II）直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），

y=ax2

y-y0=k1(x-x0).

∴ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，∴xA+x0=

，xA=

-x0．

同理，可得xB=

-x0．

∵k₂+λk₁=0，∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

-x0．

又

=λ

(λ≠0，λ≠-1)，

∴x_M-x_B=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

=-x0．

∴线段PM的中点在y轴上．

（III）由λ=1，P（1，-1），可知a=-1．

∴A（-k₁-1，-（k₁+1）²），B（k₁-1，-（k₁-1）²）．

∴

=(2+k1，

+2k1)，

=(2k1，4k1)．

∵∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，

∴

•

＜0．

即（2+k₁）•2k₁+（k₁²+2k₁）•4k₁＜0．

∴k₁（2k₁²+5k₁+2）＜0．

∵k₁＜0，

∴2k₁²+5k₁+2＞0．

∴k1＜-2，或-

＜k1＜0．

又∵点A的纵坐标y_A=-（k₁+1）²，

∴当k₁＜-2时，y_A＜-1；

当-

＜k₁＜0时，-1＜y_A＜-

．

∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为(-∞，-1)∪(-1，-

)．