问题
解答题
已知数列{an}满足：a1=5，且an+1=-2an+5×3n．
（1）求证：数列{an-3n}是等比数列，并写出an的表达式；
（2）设3nbn=n（3n-an），且|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，求m的取值范围．
答案
（1）∵an+1=-2an+5×3n，
∴an+1-3n+1=-2(an-3n)，
∴{an-3n}是以首项为a1-3=2，公比为-2的等比数列，
∴an-3n=2•（-2）n-1，
则an=3n+2•（-2）n-1=3n-（-2）n，
（2）由3nbn=n•（3n-an）=n•[3n-3n+（-2）n]=n•（-2）n，
得bn=n•（-
）n，2 3
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=
+2×(2 3
)2+3×(2 3
)3+…+n×(2 3
)n①2 3
∴
Sn=(2 3
)2+2 • (2 3
)3+…+(n-1)×(2 3
)n+n×(2 3
)n+1②2 3
①-②得，
Sn=1 3
+ (2 3
)2+…+(2 3
)n-n(2 3
)n+1=2[1-(2 3
)n]-n • (2 3
)n+12 3
∴Sn=6[1-(
)n]-3n(2 3
)n+1＜62 3
∵|b1|+|b2|+…+|bn|＜m对于n∈N*恒成立，
∴m≥6．