问题
解答题
已知圆锥曲线C上任意一点到两定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之和为常数，曲线C的离心率e=
（1）求圆锥曲线C的方程； （2）设经过点F2的任意一条直线与圆锥曲线C相交于A、B，试证明在x轴上存在一个定点P，使
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答案
（1）依题意，设曲线C的方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），y2 b2
∴c=1，
∵e=
=c a
，1 2
∴a=2，
∴b=
=a2-c2
，3
所求方程为
+x2 4
=1．y2 3
（2）当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-1），
由
，
+x2 4
=1y2 3 y=k(x-1)
得（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，
从而xA+xB=
，xA•xB=8k2 3+4k2
，4(k2-3) 3+4k2
设P（t，0），则
•PA
=(xA-t)(xB-t)+yAyB=(k2+1)xAxB-(t+k2)(xA+xB)+(k2+t2)=PB 3t2-12+(-5-8t+4t2)k2 3+4k2
当
=3t2-12 3
，-5-8t+4t2 4
解得t=11 8
此时对∀k∈R，
•PA
=-PB
；135 64
当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=1，
xA=xB=1，yA(yB)=±
，3 2
对t=
，11 8
•PA
=(xA-t)(xB-t)+yAyB=PB
-9 64
=-9 4
，135 64
即存在x轴上的点P(
，0)，使11 8
•PA
的值为常数-PB
．135 64