（Ⅰ）把直线y=x+m代入4x²+y²=1得

5x²+2mx+m²-1=0     ①…（1分）

∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0

-

5

2

≤m≤

5

2

…（2分）

（Ⅱ）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

由①得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

，…（3分）

∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=(-

2m

5

)2-

4(m2-1)

5

=

-16m2+20

25

…（4分）

∴|AB|=

(1+k)2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2× -16m2+20 25

=

4 2

5

…（5分）

解得m=±

1

2

…（6分）

∴所求直线方程为y=x±

1

2

．                                   …（7分）

（Ⅲ）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

由①得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

若存在m的值，使得

OA

•

OB

=0，则有x₁x₂+y₁y₂=0…（8分）y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

4m2-1

5

…（9分）

∴

m2-1

5

+

4m2-1

5

=0，解得                                     …（10分）

又由（1）直线和椭圆有公共点，需满足-

5

2

≤m≤

5

2

…（11分）

∵

10

5

＜

5

2

∴存在m=±

10

5

满足题意                                       …（12分）