问题
解答题
已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，短轴长为2
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是椭圆的左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标． |
答案
（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，短半轴长为b，半焦距为c，则
解得2c=2 2b=2 3 a2=b2+c2 a=2 b= 3
∴椭圆C的标准方程为
+x2 4
=1．（4分）y2 3
（Ⅱ）由方程组
消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．（6分）
+x 2 4
=1y2 3 y=kx+m
由题意△=（8km）2-4（3+4k2）（4m2-12）＞0，
整理得：3+4k2-m2＞0①（7分）
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=-
，x1x2=8km 3+4k2
．（8分）4m2-12 3+4k2
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x1-2）（x2-2）+y1y2=0． （10分）
即（1+k2）x1x2+（km-2）（x1+x2）+m2+4=0，
也即(1+k2)•
+(km-2)•4m2-12 3+4k2
+m2+4=0，-8km 3+4k2
整理得7m2+16mk+4k2=0．
解得m=-2k或m=-
，均满足①（11分）2k 7
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），不符合题意舍去；
当m=-
时，直线l的方程为y=k(x-2k 7
)，过定点(2 7
，0)，2 7
故直线l过定点，且定点的坐标为(
，0)．（13分）2 7