问题 解答题

已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1,1),且f(0)=3,

(1)求f(x)的解析式,

(2)x∈[-1,1],y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围,

(3)若f(x)在区间[a,a+1]上单调,求实数a的取值范围.

答案

(1)由已知,设f(x)=a(x-1)2+1,

由f(0)=3,得a=2,

故f(x)=2x2-4x+3

(2)由已知,即2x2-4x+3>2x+2m+1,化简得 x2-3x+1-m>0,

设g(x)=x2-3x+1-m,则只要g(x)min>0,x∈[-1,1]即可

∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上为减函数

∴g(x)min=g(1)=-1-m>0,

∴m<-1.

(3)要使函数f(x)=2(x-1)2+1在[a,a+1]单调,

则a+1≤1或a≥1,

则a≤0或a≥1,

∴实数a的取值范围为a≤0或a≥1,

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