问题
解答题
设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）•g（an-1）+f（an-1）=0，记bn=
（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn． |
答案
（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）•8（an-1）+（an-1）2=0．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，
为公比的等比数列． 7 8
（Ⅱ）由（1），得an-1=(
)n-1．7 8
∴bn=(n+1)•(
)n． 7 8
则bn+1=(n+2)•(
)n+1．7 8
∵
=bn+1 bn
•n+2 n+1
，设7 8
≥1，则n≤6．bn+1 bn
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．
（Ⅲ）Sn=2•
+3•(7 8
)2+4•(7 8
)3+…+n•(7 8
)n-1+(n+1)•(7 8
)n7 8
•Sn=2•(7 8
)2+3•(7 8
)3+4•(7 8
)4+…+n•(7 8
)n+(n+1)•(7 8
)n+17 8
相减得：
•Sn=2•1 8
+(7 8
)2+(7 8
)3+…+(7 8
)n-(n+1)•(7 8
)n+1=7 8
+7 8
×8×[1-(7 8
)n]-(n+1)•(7 8
)n+17 8
=
-(n+9)•(63 8
)n+17 8
∴Sn=63-8(n+9)•(
)n+1．7 8