问题
解答题
某公司试销一种成本为30元/件的新产品，按规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，试销中每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足下表中的函数关系．
（2）设公司试销该产品每天获得的毛利润为S（元），求S与x之间的函数表达式（毛利润=销售总价-成本总价）； （3）当销售单价定为多少时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大？最大毛利润是多少？此时每天的销售量是多少？ |
答案
（1）解法1：设y与x之间的函数关系满足y=kx+b
把x=40，y=500；x=50，y=400
分别代入上式得：
，40k+b=500 50k+b=400
解得k=-10 b=900
∴y=-10x+900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；
解法2：设y与x之间的函数关系满足y=ax2+bx+c
把x=35，y=550；x=40，y=500；x=50，y=400分别代入上式
得1225a+35b+c=550 1600a+40b+c=500 2500a+50b+c=400
解，得
∴y=-10x+900a=0 b=-10 c=900
∵表中其它对应值都满足y=-10x+900
∴y与x之间的函数关系为一次函数，且函数表达式为y=-10x+900（30≤x≤80）；
（2）方法1：毛利润S=（x-30）•y
=（x-30）（-10x+900）
=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）
方法2：毛利润S=xy-30y
=x•（-10x+900）-30×（-10x+900）
=-10x2+1200x-27000（30≤x≤80）；
（3）在S=-10x2+1200x-27000中
∵a=-10＜0，∴当x=-
=60时1200 2×(-10)
∴S最大=-10×602+1200×60-27000=9000（元）
此时每天的销售量为：y=-10×60+900=300（件）．
∴当销售单价定为60元/件时，该公司试销这种产品每天获得的毛利润最大，最大毛利润是9000元，此时每天的销售量是300件．