问题
解答题
在△PAB中，已知A(-
（I）求动点P的轨迹方程； （II）设M（-2，0），N（2，0），过点N作直线l垂直于AB，且l与直线MP交于点Q，，试在x轴上确定一点T，使得PN⊥QT； （III）在（II）的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求
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答案
（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴动点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支除去其与x轴的交点．
设双曲线方程为
-x2 a2
=1(a＞0，b＞0)．a2 b2
由已知，得
解得c= 6 2a=4
（2分）c= 6 a=2
∴b=
．（3分）2
∴动点P的轨迹方程为
-x2 4
=1(x＞2)．（4分）a2 2
注：未去处点（2，0），扣（1分）
（5）由题意，直线MP（6）的斜率存在且不为0，设直线l的方程x=2．
设MP的方程为y=k（x+2）．（5分）
∵点Q是l与直线MP的交点，∴Q（2，4k）．设P（x0，y0）
由
整理得（1-2k2）x2-8k2x-（8k2+4）=0．
-x2 4
=1y2 2 y=k(x+2)
则此方程必有两个不等实根x1=-2，x2=x0＞2∴1-2k2≠0．，且-2x0=-
．8k2+4 1-2k2
∴y0=k(x0+2)=
．∴P(4k 1-2k2
，4k2+2 1-2k2
)．（8分）4k 1-2k2
设T（t，0），要使得PN⊥QT，只需
•PN
=0QT
由N（2，0），
=(PN
，-8k2 1-2k2
)，4k 1-2k2
=(t-2，-4k)，QT
∴
⋅PN
=QT
[8k2(t-2)，-16k2]=0（10分）1 1-2k2
∵k≠0，∴t=4．此时
≠0，⋅PN
=≠0QT
∴所求T的坐标为（4，0）．（11分）
（III）由（II）知R（2，-4k），∴
=(OP
，4k2+2 1-2k2
)，4k 1-2k2
=(2，-4k)．OR
∴
•OP
=OR
×2+4k2+2 1-2k2
×(-4k)=4k 1-2k2
=4．4-8k2 1-2k2
∴
•OP
=4．OR
说明其他正确解法按相应步骤给分．