问题
解答题
平面内动点M与点P1（-2，0），P2（2，0），所成直线的斜率分别为k1、k2，且满足k1k2=-
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型； （Ⅱ）设直线：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|． （1）求k的值； （2）若点N(
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答案
（Ⅰ）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=-
，∴1 2
•y x+2
=-y x-2
，1 2
即
+x2 4
=1(y≠0)y2 2
动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±
，0）的椭圆（除去长轴两个端点．）它的方程是2
+x2 4
=1(y≠0)．y2 2
（Ⅱ）（1）在l：y=kx+m中分别令x=0，y=0可得A(-
，0)，B(0，m)，AB的中点为Q(-m k
，m 2k
)m 2
设C（x1，y1），D（x2，y2），由
⇒(1+2k2)x2+4mkx+2m2-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-y=kx+m
+x2 4
=1y2 2
，x1•x2=4mk 1+2k2
，∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，即-2m2-4 1+2k2
=-4mk 1+2k2
，4k2=1+2k2，k2=m k
，∵k＞0，∴k=1 2
(2)|CD|=2 2
•|x2-x1|=1+k2
•1+ 1 2
=(x1+x2)2-4x1x2
•3 2
=2m2-4(m2-2) 3(4-m2)
点N到CD的距离d=
=|
k-1+m|2 1+k2
|m|，S△NCD=6 3
|CD|•d=1 2
•1 2
•3(4-m2)
|m|=6 3 2 2
|m|=4-m2 2 2
≤(4-m2)m2
(2 2
)=4-m2+m2) 2 2
当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，m=±
，此时△＞0，2
所以直线的方程为l：y=
x±2 2
．2