已知抛物线C1：y=x2，椭圆C2：x2+y24=1．（1）设l1，l2是C1的

问题解答题

已知抛物线C₁：y=x²，椭圆C₂：x²+

=1．
（1）设l₁，l₂是C₁的任意两条互相垂直的切线，并设l₁∩l₂=M，证明：点M的纵坐标为定值；
（2）在C₁上是否存在点P，使得C₁在点P处切线与C₂相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C₁的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）y′=2x，

设切点分别为（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）

则l₁方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）

即y=2x₁x-x₁²①

l₂方程为y=2x₂x-x₂²②

由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1

即x1x2=-

所以yM=-

，

即点M的纵坐标为定值-

．

（2）设P（x₀，x₀²），

则C₁在点P处切线方程为：y=2x₀x-x₀²

代入C₂方程4x²+y²-4=0

得4x²+（2x₀x-x₀²）-4=0

即（4+4x₀²）x²-4x₀³x+x₀⁴-4=0

设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）

则x3+x4=

，x3•x4=

-4

4+4

△=16x₀⁶-16（1+x₀²）（x₀⁴-4）=16（4+4x₀²-x₀⁴）＞0 ③

由（1）知yM=-

从而

y3+y4

，

即x0(x3+x4)-

=--

进而得

解得

，且满足③

所以这样点P存在，其坐标为(±

，

)．