（1）设g（x）=ax²+（b-1）x+1，且a＞0

∵x₁＜1＜x₂，∴（x₁-1）（x₂-1）＜0，即x₁x₂＜x₁+x₂-1，

于是x=m即x=-

b

2a

，也就是x=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

）

∴m=

1

2

（-

b-1

a

-

1

a

）=

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

x₁x₂＞

1

2

（x₁+x₂）-

1

2

[（x₁+x₂）-1]=

1

2

即不等式m＞

1

2

成立；

（2）由方程g（x）=ax²+（b-1）x+1=0，可得x₁x₂=-

1

a

＞0，故x₁、x₂同号

由0＜x₁＜2且|x₁-x₂|=2，得x₂-x₁=2

∴x₂=x₁+2＞2，

由此可得2∈（x₁，x₂），得g（2）＜0，

所以4a+2b-1＜0，可得4a+2b＜1；

（3）由前面的结论，得x₁+x₂=

-b+1

a

，x₁x₂=

1

a

α、β为区间[x₁，x₂]上的两个不同的点，不妨设α＜β

0＞2（α-x₁）（β-x₂）

∵2（α-x₁）（β-x₂）=2αβ-2（βx₁+αx₂）+2x₁x₂

=2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂+（x₁-x₂）（α-β）＞2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂

且2αβ-（x₁+x₂）（α+β）+2x₁x₂=

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

∴0＞

2aαβ-(1-b)(α-β)+2

a

，

结合a＞0，可得2aαβ-（1-b）（a+β）+2＜0．