数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=n+2nSn（n=1，2

问题解答题

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=

n+2

S_n（n=1，2，3，…）．证明：
（Ⅰ）数列{

}是等比数列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

答案

（I）证：由a₁=1，a_n+1=

n+2

S_n（n=1，2，3，），

知a₂=

2+1

S₁=3a₁，

4a1

=2，

=1，∴

又a_n+1=S_n+1-S_n（n=1，2，3，…），则S_n+1-S_n=

n+2

S_n（n=1，2，3，），

∴nS_n+1=2（n+1）S_n，

Sn+1

n+1

=2（n=1，2，3，…），

故数列{

}是首项为1，公比为2的等比数列．

（II）证明：S_n+1=4a_n．当n=1时，S₂=a₁+a₂=4a₁，等式成立．

由（1）知：

=1×2n-1，∴S_n=n2^n-1

当n≥2时，4a_n=4（S_n-S_n-1）=2ⁿ（2n-n+1）=（n+1）2ⁿ=S_n+1，等式成立．

因此对于任意正整数n≥1都有S_n+1=4a_n．