问题
解答题
已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（I）若函数f（x）的图象过点（0，3），求f（x）；
（Ⅱ）在（I）的条件下，对于任意x0∈[-6，6]，求使f（x0）≥-2的概率；
（Ⅲ）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件．
答案
设f（x）-2x=a（x+1）（x-3）（a＜0）
（I） 将点（0，3）代入f（x）有a=-1，故f（x）=-x2+4x+3-------------------（3分）
（Ⅱ） 由f（x0）≥-2解得：-1≤x≤5
记“使f（x0）≥-2”为事件A，则其概率为：P(A)=
=5-(-1) 6-(-6)
．1 2
则使f（x0）≥-2的概率为
．-------------（6分）1 2
（Ⅲ） 设 r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax2+x+1，r（0）=1，对称轴为x=-
，1 2a
由题意，得其充要条件是
⇒--
≤a＜01 2 r(1)=a+2≤3
≤a＜0；-------------（9分）1 2
或
=1-a＜- 1 2 r(- 1 2a r(1)=a+2≥-3
≤3⇒-5≤a＜-1 4a
------------（12分）1 2
解得：-5≤a＜0，
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件是-5≤a＜0------------（14分）