问题
解答题
已知函数f（x）=x2-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，求实数a的取值范围；
（2）当a≥-3时，求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[-2，2]上的最大值．
答案
（1）∵函数h（x）=|f（x）|-g（x）只有一个零点，
即h（x）=|f（x）|-g（x）=|x2-1|-a|x-1|只有一个零点，
显然x=1是函数的零点，
∴即|x-1|-a=0无实数根，
∴a＜0；
（2）h（x）=|f（x）|+g（x）=）=|x2-1|+a|x-1|
=
，x2+ax-a-1，1≤x≤2 -x2-ax+a+1，-1＜x＜1 x2-ax+a-1，-2≤x≤-1
当1＜x≤2时，∵a≥-3，
∴-
≤a 2
，3 2
当x=2时，h（x）的最大值为h（2）=a+3；
当-2≤x＜-1时，
≥-a 2
，3 2
当x=-2时，h（x）的最大值为h（-2）=3a+3；
当-1≤x≤1时，h（x）的最大值为max{h（-1），h（1），h（-
）}=max{0，a 2
a2+a+1，2a}=1 4
a2+a+1，1 4
∴函数h（x）最大值为h（a）=
．a+3 -3≤a≤0 3a+3 0＜a≤4+2 6
a2+a+1，a＞4+21 4 6