各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1=2，a5=512，Tn是数列{log

问题解答题

各项均为正数的等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₅=512，T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）求满足(1-

)(1-

)…(1-

)＞

1011

2013

的最大正整数n的值．

答案

（1）设公比为q，依题意，2×q⁴=512

∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，

∴q=4

∴∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1；

（II）由（I）得b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-1）=2n-1

∴数列{b_n}为首项为1，公差为2的等差数列

∴T_n=

n(1+2n-1)

=n²；

（III）(1-

)(1-

)…(1-

22-1

•

32-1

•…•

n2-1

1•3•2•4•3•5…•(n-1)(n+1)

22•32•…•n2

n+1

令

n+1

＞

1011

2013

∴n＜223

∴满足(1-

)(1-

)…(1-

)＞

1011

2013

的最大正整数n的值为223．