已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1，bn=

问题解答题

已知数列{a_n}与{b_n}满足bn+1an+bnan+1=(-2)n+1，bn=

3+(-1)n-1

，n∈N*，且a1=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）设c_n=a_2n+1-a_2n-1，n∈N^*，证明{c_n}是等比数列．

答案

（Ⅰ）由bn=

3+(-1)n-1

，n∈N*，可得bn=

2，n为奇数

1，n为偶数

又因为b_n+1a_n+b_na_n+1=（-2）ⁿ+1，

当n=1时，a1+2a2=-1，由a1=2，可得a2=-

；

当n=2时，2a₂+a₃=5，可得a₃=8．

（Ⅱ）证明：对任意n∈N^*都有：a_2n-1+2a_2n=-2^2n-1+1…①

并且有：2a_2n+a_2n+1=2²ⁿ+1…②

②-①，得a_2n+1-a_2n-1=3×2^2n-1，即c_n=3×2^2n-1，

于是

cn+1

=4，

所以{c_n}是等比数列．