已知点F是椭圆x21+a2+y2=1(a＞0)右焦点，点M（m，0）、N（0，n

问题解答题

已知点F是椭圆

1+a2

+y2=1(a＞0)右焦点，点M（m，0）、N（0，n）分别是x轴、y轴上的动点，且满足

•

=0，若点P满足

．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设过点F任作一直线与点P的轨迹C交于A、B两点，直线OA、OB与直线x=-a分别交于点S、T（其中O为坐标原点），试判断

•

是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

答案

（1）设点P（x，y），由题意可知，点F的坐标为（a，0），

则

=(-m，n)，

=(a，-n)，

•

=-am-n2=0①，

由

得：（x，y）=（-m，2n），即

x=-m

y=2n

②，

将②式代入①式得：y²=4ax

（2）设过F点的直线l方程为：y=k（x-a），与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，

联立

y2=4ax

y=k(x-a)

得：k²x²-（2ka+4a）x+k²a²=0，

则x₁x₂=a²，y1y2=-

16a2•x1x2

=-4a2．

由于直线OA的方程为：y=

x，则点S的坐标为(-a，-

a)；

同理可得点T的坐标为(-a，-

a)；

故

=(-2a，-

a)，

=(-2a，-

a)，

则

•

=4a2+

y1y2

x1x2

a2=0．