已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），它的一个焦点与抛物线y2=

问题解答题

已知椭圆的方程为

=1（a＞b＞0），它的一个焦点与抛物线y²=8x的焦点重合，离心率e=

，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点M（1，0），且(

)⊥

，求直线l的方程．

答案

（1）设椭圆的右焦点为（c，0），

因为y²=8x的焦点坐标为（2，0），所以c=2

因为e=

，则a²=5，b²=1

故椭圆方程为：

+y2=1

（2）由（I）得F（2，0），

设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）

代入

+y2=1，得（5k²+1）x²-20k²x+20k²-5=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x1+x2=

20k2

5k2+1

，x1x2=

20k2-5

5k2+1

，

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-4），y₁-y₂=k（x₁-x₂）

∴

=(x1-1，y1)+(x2-1，y2)=(x1+x2-2，y1+y2)，

=(x2-x1，y2-y1)

∵(

)•

=0，∴（x₁+x₂-2）（x₂-x₁）+（y₂-y₁）（y₁+y₂）=0∴

20k2

5k2+1

-2-

4k2

5k2+1

=0，

∴3k2-1=0，k=±

所以直线l的方程为y=±

(x-2)．