根据函数f（x）=ax²+4x+1，得到函数的对称轴为x=-

2

a

，且闭区间[1，4]的中点为

5

2

，

则a＜0时：①-

2

a

＜

5

2

即a＜-

4

5

时，得到函数的最小值g（a）=f（4）=16a+17；

②-

2

a

≥

5

2

即0＞a≥-

4

5

时，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5．

a＞0时：①-

2

a

≤

5

2

即a≥-

4

5

，即a＞0，得到函数的最小值g（a）=f（1）=a+5；

②-

2

a

＞

5

2

即a＜-

4

5

，不合题意，舍去．

综上，得到g(a)=

a+5，(a≥- 4 5 ) 16a+17，(a＜- 4 5 )

．

故选D