已知椭圆：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，离心率

问题解答题

已知椭圆：

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

，两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点F₂的直线l与椭圆交于A，B两点，四边形F₁ACB为平行四边形，O为坐标原点，且|OC|=

，求直线l的方程．

答案

（1）因为离心率为

，

所以a=

c．

又因为两焦点与上下顶点形成的菱形面积为2，

所以bc=1．

因为a²=b²+c²，

所以a=

，b=1．

所以椭圆的方程为：

+y2=1

（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程为：x=1，

所以A（1，

），B（1，-

）．

因为四边形F₁ACB为平行四边形，

所以C（3，0），所以|OC|=3≠

，

所以直线l的斜率不存在不符合题意，即直线l的斜率存在；

设直线l的方程为：y=k（x-1），代入椭圆方程：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0

由题意可得：△＞0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，

因为四边形F₁ACB为平行四边形，

所以C（x₁+x₂+1，y₁+y₂）．

因为|OC|=

所以(x1+x2+1)2+(y1+y2)2=

，

所以结合韦达定理可求出k²=1，即k=±1，

所以所求直线的方程为：y=±（x-1）．