已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点分别是F1，F2，点M(1

问题解答题

已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)的焦点分别是F₁，F₂，点M(1 ，

)在椭圆上，且|MF₁|+|MF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C：

=1交于A，B两点，点P满足

，点Q的坐标是(0 ，

)，设直线PQ的斜率是k₁，且k₁•k=2，求实数t的取值范围．

答案

（Ⅰ）因为点M(1 ，

)在椭圆C：

=1(a＞b＞0)上，且|MF₁|+|MF₂|=4，

所以

4b2

=1，2a=4．

所以a²=4，b²=1．

所以椭圆C的标准方程是

+y2=1．…..（3分）

（Ⅱ）联立方程组

y=kx+t

+y2=1

消去y，得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0．

所以△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）＞0，…..（4分）

即1+4k²＞t²．①…..（5分）

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x1+x2=

-8kt

1+4k2

．…..（6分）

因为

，所以点P是AB的中点，

设P（x_P，y_P），所以xp=

-4kt

1+4k2

，yp=kxP+t=

1+4k2

．…..（8分）

因为点Q的坐标是(0 ，

)，直线PQ的斜率是k₁，

所以k1=

yP-

2t-3(1+4k2)

-8kt

．…..（10分）

因为k₁•k=2，所以k•

2t-3(1+4k2)

-8kt

=2．

所以1+4k²=6t．②…..（12分）

所以由①，②式，可得 6t＞t²．

所以0＜t＜6．

所以实数t的取值范围是0＜t＜6．…..（14分）