设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，（1，32）

问题解答题

设椭圆

=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F₁，F₂，（1，

）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自F₁引直线交曲线C于P，Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M，设

F1P

=λ

F1Q

．
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：

F2M

=-λ

F2Q

；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

答案

（1）依题意，

a=2c

，又a²=b²+c²，解得

a2=4

b2=3

，故椭圆方程为

∵F₂（1，0），设抛物线方程为y²=2px，则

=1，p=2，故抛物线方程为y²=4x

（2）∵F₁（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）

由

y=kx+k

y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△＞0时，x₁x₂=1 （1）

又∵

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1）（2），y₁=λy_{2
由（1）（2）得，x₁=λ，x₂=
1
λ
F2M
=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-y₁）_{-λ
F2Q
=-λ（x₂-1，y₂）=（λ-1，-λy₂）
故
F2M
=-λ
F2Q
（3）由（2）知可取 P（λ，
4λ
），Q（1
λ，
4
λ），则|PQ|=
(λ-1
λ
)2+(
4λ
-
4
λ
)2=
(λ+1
λ
)2+4(λ+1
λ
)-12
∵λ∈[2，3]，∴λ+
1
λ
∈[5
2
，10
3
]，∴|PQ|∈（
(5
2
)2+4(5
2
) -12 ，
(10
3
)2+4(10
3
)-12 ）
故|PQ|∈（
17
4
，112
9）}}