问题
解答题
设椭圆
（1）求椭圆方程和抛物线方程； （2）证明：
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围． |
答案
（1）依题意，
，又a2=b2+c2，解得
+1 a2
=19 4 b2 a=2c
，故椭圆方程为a2=4 b2=3
+x2 4
=1y2 3
∵F2（1，0），设抛物线方程为y2=2px，则
=1，p=2，故抛物线方程为y2=4xp 2
（2）∵F1（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x1，-y1）
由
得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，△＞0时，x1x2=1 （1）y=kx+k y2=4x
又∵
=λF1P
，∴x1+1=λ（x2+1）（2），y1=λy2F1Q
由（1）（2）得，x1=λ，x2=1 λ
=（x1-1，-y1）=（λ-1，-y1） F2M
-λ
=-λ（x2-1，y2）=（λ-1，-λy2）F2Q
故
=-λF2M F2Q
（3）由（2）知 可取 P（λ，
），Q（4λ
，1 λ
），则|PQ|=4 λ
=(λ-
)2+(1 λ
-4λ
)24 λ (λ+
)2+4(λ+1 λ
)-12 1 λ
∵λ∈[2，3]，∴λ+
∈[1 λ
，5 2
]，∴|PQ|∈（ 10 3
，(
)2+4(5 2
) -12 5 2
）(
)2+4(10 3
)-12 10 3
故|PQ|∈（
，17 4
）112 9