问题
解答题
已知斜率为1的直线l与双曲线C：
（Ⅰ）求C的离心率； （Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|•|BF|≤17，求b2-a2取值范围． |
答案
（I）由题知，l的方程为：y=x+2．
代入C的方程，并化简，得（b2-a2）x2-4a2x-4a2-a2b2=0．
设B（x1，y1）、D（x2，y2）则x1+x2=
，x1x2=-4a2 b2-a2
①4a2+a2b2 b2-a2
由M（1，3）为BD的中点知
=1，故x1+x2 2
•1 2
=1，4a2 b2-a2
即b2=3a2 ②
故c=
=2a，所以C的离心率e=a2+b2
=2；c a
（II）由①、②知C的方程为：3x2-y2=3a2．
F（2a，0），x1+x2=2，x1x2=-
＜0．4+3a2 2
故不妨设x1≤-a，x2≥a
|BF|=
=(x1-2a)2+y12
=a-2x1，(x1-2a)2+3x12-3a2
|FD|=
=(x2-2a)2+y22
=2x2-a，(x2-2a)2+3x22-3a2
|BF|•|DF|=（a-2x1）（2x2-a）=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2
=-4×(-
)+4a-a2=5a2+4a+8．4+3a2 2
又|BF|•|DF|≤17，故5a2+4a+8≤17，
解得-
≤a≤1，故0＜a≤1．9 5
由e=2，得b2=3a2，故b2-a2=2a2∈（0，2]．