问题
解答题
函数f(x)=ax3+bx(a≠0)图象在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+7=0平行,导函数f′(x)的最小值为-12.
(1)求a、b的值;
(2)讨论方程f(x)=m解的情况(相同根算一根).
答案
(1)∵f′(x)=3ax2+b的最小值为-12
∴b=-12,且a>0
又直线6x+y+7=0的斜率为-6
∵函数f(x)=ax3+bx(a≠0)图象在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+7=0平行
∴f'(1)=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2,b=-12
(2)由(1)知f(x)=2x3-12x,f′(x)=6x2-12=6(x+
)(x-2
),列表如下:2
x | (-∞,-
| -
| (-
|
| (
| ||||||||||||
f′ | + | 0 | - | 0 | + | ||||||||||||
f(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
2 |
2 |
∴f(x)在x=-
时取得极大值为f(-2
)=82
,f(x)在x=2
时取得极小值为f(2
)=-82 2
∴当m>8
或m<-82
时,方程有一根;2
当m=8
或m=-82
时,方程有两个根;2
当-8
<m<82
时,方程有三个根2