问题 解答题

函数f(x)=ax3+bx(a≠0)图象在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+7=0平行,导函数f′(x)的最小值为-12.

(1)求a、b的值;

(2)讨论方程f(x)=m解的情况(相同根算一根).

答案

(1)∵f′(x)=3ax2+b的最小值为-12

∴b=-12,且a>0

又直线6x+y+7=0的斜率为-6

∵函数f(x)=ax3+bx(a≠0)图象在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+7=0平行

∴f'(1)=3a+b=-6

∴a=2

∴a=2,b=-12

(2)由(1)知f(x)=2x3-12x,f′(x)=6x2-12=6(x+

2
)(x-
2
),列表如下:

x(-∞,-
2
-
2
(-
2
2
)
2
(
2
,+∞)
f′+0-0+
f(x)极大值极小值
所以,函数f(x)的单调增区间是(-∞,-
2
)和(
2
,+∞)

∴f(x)在x=-

2
时取得极大值为f(-
2
)=8
2
,f(x)在x=
2
时取得极小值为f(
2
)=-8
2

∴当m>8

2
m<-8
2
时,方程有一根;

m=8

2
m=-8
2
时,方程有两个根;

-8

2
<m<8
2
时,方程有三个根

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