数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．（1

问题解答题

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．

（1）求证{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；

（2）等差数列{b_n}的各项为正，其前n项和为T_n，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

答案

（1）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），-----（1分）

两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，a_n+1=3a_n（n≥2）．--------（3分）

又a₂=2S₁+1=3，∴a₂=3a₁．-----------（4分）

故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，∴a_n=3^n-1．---（6分）

（2）设{b_n}的公差为d，

由T₃=15得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，--------（8分）

故可设b₁=5-d，b₃=5+d，

又a₁=1，a₂=3，a₃=9，

由题意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，--------（10分）

解得d₁=2，d₂=-10．-----------（12分）

∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0．∴d=2，-------（13分）

Tn=3n+

n(n-1)

×2=n2+2n．-----------（15分）