问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=tx2+2tx（t≠0） （Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若t=1，记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1，an＞0），点(
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答案
（Ⅰ）f（x）＞1即：tx2+2tx-1＞0，
①t＞0时，方程tx2+2tx-1=0的判别式△=4t2+4t＞0----（1分）
方程两根为x=
----（2分）-t± t2+t t
解集是(-∞，
)∪(-t- t2+t t
，+∞)----（3分）-t+ t2+t t
②t＜0时，方程tx2+2tx-1=0的判别式△=4t2+4t
（1）当4t2+4t≤0，即-1≤t＜0时，解集是φ----（4分）
（2）当4t2+4t＞0即t＜-1时，解集是(
，-t- t2+t t
)----（5分）-t+ t2+t t
综上所述，t＞0时，解集是(-∞，
)∪(-t- t2+t t
，+∞)；-1≤t＜0时，解集是φ；t＜-1时，解集是(-t+ t2+t t
，-t- t2+t t
)----（6分）-t+ t2+t t
（Ⅱ）由题意，f（x）=x2+2x
∵点(
+Sn+1
，2an+1)在函数f（x）的图象上，Sn
∴2an+1=(
+Sn+1
)2+2(Sn
+Sn+1
)----（7分）Sn
整理得(
+Sn+1
)(Sn
+Sn+1
+2)=2an+1=2(Sn+1-Sn)=2(Sn
+Sn+1
)(Sn
-Sn+1
)Sn
∴
+Sn+1
+2=2(Sn
-Sn+1
)Sn
∴
=3Sn+1
+2----（9分）Sn
∴(
+1)=3(Sn+1
+1)，Sn
又
+1=S1
+1=2，----（10分）a1
所以{
+1}是首项为2，公比为3的等比数列，Sn
∴
+1=2•3n-1Sn
∴Sn=(2•3n-1-1)2，n∈N+----（12分）