问题
解答题
抛物线y2=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AB的长度和直线AB的方程；
（3）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．
答案
（1）抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x1，y1），y1＞0，
由|FA|=2得x1+1=2，x1=1，代入y2=4x中得y1=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=
=3(1-4)2+(2+4)2
…（6分）5
直线AB的方程为
=y-2 -4-2
，化简得2x+y-4=0．…（8分）x-1 4-1
（3）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x0，y0），且0≤x0≤4，-4≤y0≤2．
则点P到直线AB的距离d=
=|2x0+y0-4| 1+4
=|2×
+y0-4|y0 2 4 5
…（9分）|
(y0+1)2-1 2
|9 2 5
所以当y0=-1时，d取最大值
，…（10分）9 5 10
所以△PAB的面积最大值为S=
×31 2
×5
=27 …（11分）9 5 10
此时P点坐标为（
，-1）．…（12分）1 4