在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-3y=4相切（1）求圆O

问题解答题

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x-

y=4相切
（1）求圆O的方程
（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求

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的取值范围．

答案

（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x-

y=4的距离，

即r=

1+3

=2．

得圆O的方程为x²+y²=4．

（2）不妨设A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂．由x²=4即得A（-2，0），B（2，0）．

设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，

即x²-y²=2.

•

=(-2-x，-y)•(2-x，-y)=x²-4+y²=2（y²-1）．

由于点P在圆O内，故

x2+y2＜4

x2-y2=2.

由此得y²＜1．

所以

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的取值范围为[-2，0）．