问题
解答题
某工厂有14m长的旧墙一面，现在准备利用这面旧墙，建造平面图形为矩形，面积为126m2的厂房，工程条件为：①建1m新墙的费用为a元；②修1m旧墙的费用为
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答案
设利用旧墙的一面矩形边长为xm，则矩形的另一边长为
m．126 x
（Ⅰ）利用旧墙的一段xm（x＜14）为矩形一面边长，则修旧墙费用为x•
元，a 4
将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为（14-x）•
元，其余建新墙的费用为（2x+a 2
-14）•a元．2×126 x
故总费用为
y=x•
+a 4
•a+（2x+14-x 2
-14）•a=a（252 x
x+7 4
-7）=7a（252 x
+x 4
-1）．（0＜x＜14）36 x
∴y≥7a[2
-1]=35a．当且仅当
•x 4 36 x
=x 4
，即x=12m时，ymin=35a（元）；36 x
（Ⅱ）若利用旧墙的一面矩形边长为x≥14，则修旧墙的费用为
•14=a 4
a元，建新墙的费用为（2x+7 2
-14）a元．252 x
故总费用为y=
a+（2x+7 2
-14）a=252 x
a+2a（x+7 2
-7）（x≥14）．126 x
设14≤x1＜x2，则x1-x2＜0，x1x2＞196．
则（x1+
）-（x2+126 x1
）=（x1-x2）（1-126 x2
）126 x1x2
∴函数y=x+
在区间[14，+∞]上为增函数．126 x
故当x=14时，ymin=
a+2a（14+7 2
-7）=35.5a＞35a．126 14
综上讨论可知，采用第（Ⅰ）方案，建墙总费用最省，为35a元．