问题
解答题
已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
答案
依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-
，b a
所以S=
(ax2+bx)dx=（∫ -
0b a
ax3+1 3
bx2）1 2 | -
0b a
=
a•(-1 3
)3+b a
b•(-1 2
)2b a
=
•b3（1）…（4分）1 6a2
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组
，x+y=4 y=ax2+bx
得ax2+（b+1）x-4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）2+16a=0，
于是a=-
(b+1)2，…（8分）1 16
代入（1）式得：S(b)=
(b＞0)，128b3 6(b+1)4
S′(b)=
．128b2(3-b) 3(b+1)5
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=
．…（12分）9 2