（I）设椭圆C₁的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），c=

a2-b2

，

则

a2-b2

a

=

1

2

，所以

3

a=2b、

由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，

△PF₁F₂的面积最大，故|F₁F₂|b=bc=

3

，

解得a=2，b=

3

．

故所求椭圆方程为

x2

4

+

y

3

=1．

（II）当直线l的斜率不存在时，因l与与圆x²+y²=1相切，∴l：x=1，此时A（1，

3

2

），

B（1，-

3

2

），∴

OA

•

OB

=1-

9

4

=

5

4

；

当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，因l与与圆x²+y²=1相切，∴

|m|

1+k2

=1，整理得m²=k²+1，

联立l与椭圆C的方程，消去y得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，

△=48（4k²+3-m²）=48（3k²+2）＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=-

8km

4k2+3

，

x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-12k2

4k2+3

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

4m2-12

4k2+3

+

3m2-12k2

4k2+3

=

-5(k2+1)

4k2+3

=-

5

4

-

5

4(4k2+3)

∵4k²+3≥3，

∴0＜

5

4(4k2+3)

≤

5

12

，-

5

3

≤

OA

•

OB

＜-

5

4

．

综上，

OA

•

OB

的取值范围是[-

5

3

，-

5

4

]．