问题 解答题
已知椭圆C:
x2
8
+
y2
4
=1
的左焦点为F1,直线l:y=x-2与椭圆C交于A、B两点.
(1)求线段AB的长;
(2)求△ABF1的面积.
答案

(1)设A(x1,y1),B(x2,y2).

因为

x2
8
+
y2
4
=1和y=x-2相交,把两个方程联立,得
x2+2y2-8=0
y=x-2

代入得到x2+2(x-2)2-8=0,即3x2-8x=0,解得x1=0,x2=

8
3

所以y1=-2,y2=

2
3

所以|AB|=

(0-
8
3
)
2
+(-2-
2
3
)
2
=
8
3
2

(2)法一:因为点F1(-2,0)到直线y=x-2的距离为d=

|-2-2|
1+1
=2
2

所以S△ABF1=

1
2
|AB|•d=
1
2
8
2
3
•2
2
=
16
3

法二:直线y=x-2通过椭圆的右焦点F2(2,0),

则△ABF2的面积为S△ABF1=

1
2
|F1F2|(|y1|+|y2|)=
1
2
×4×(2+
2
3
)=
16
3

单项选择题
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