问题 解答题

已知函数f(x)=sin2x-cos2x+3sinx-1;

(1)求f(x)的值域;

(2)求不等式f(x)≥0的解集.

答案

解(1)f(x)=sin2x-cos2x+3sinx-1=sin2x-(1-sin2x)+3sinx-1…(1分)

=2sin2x+3sinx-2=2(sinx+

3
4
)2-
25
8
…(2分)

∵sinx∈[-1,1],当sinx=1时,ymax=2+3-2=3…(3分)

sinx=

3
4
时,ymin=-
25
8
…(4分)

所以函数f(x)的值域为[-

25
8
,3]…(6分)

(2)由于f(x)≥0,即2sin2x+3sinx-2≥0

则(2sinx-1)•(sinx+2)≥0…(7分)

∵sinx∈[-1,1],∴sinx+2>0,…(8分)

∴2sinx-1≥0即sinx≥

1
2
…(9分)

2kπ+

π
6
≤x≤2kπ+
6
,…(11分)

∴x的取值范围是[2kπ+

π
6
,2kπ+
6
](k∈Z)…(12分)

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