已知二次函数f（x）=x2-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x满足

问题解答题

已知二次函数f（x）=x²-ax+a，（a≠0x∈R），有且仅有唯一的实数x满足f（x）≤0．
（1）在数列{a_n}中，满足S_n=f（n）-4，求{a_n}的通项；
（2）在数列{a_n}中依次取出第1项、第2项、第4项、…第2^n-1项…组成新数列{b_n}，求新数列的前n项和T_n；
（3）设cn=

anan+1

，求数列{c_n}的最大和最小值．

答案

（1）∵f（x）≤0有且仅有唯一的实数x满足，

∴△=a²-4a=0，∴a=0或a=4．

∵a≠0，∴a=4．

S_n=f（n）-4=n²-4n，

当n=1时，a₁=S₁=-3，

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，且对n=1也符合，∴a_n=2n-5．

（2）b_n=2×2^n-1-5=2ⁿ-5

∴T_n=（2+4+…+2ⁿ）-5n

2(1-2n)

1-2

-5n

=2ⁿ⁺¹-5n-2．

（3）cn=

anan+1

(2n-5)(2n-3)

4n2-16n+15

4n+

-16

c1=

，c₂=-2，

当n≥3时，4（n+1）+

n+1

-（4n+

）=4-

n(n+1)

＞0，4n+

单调递增，且4n+

-16＞0，

数列{c_n}的最大值为c₃=1最小值c₂=-2．