问题
解答题
| 已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B的两点，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M． （Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），试用x1，x2表示点M的坐标． （Ⅱ）
（III）设△ABM的面积为S，试确定S的最小值． |
答案
由x2=2py，得y=
，故y′=x2 2p
，切线AM的方程为y-y1=x p
(x-x1)，即y=x1 p
x-x1 p
①，x1 2 2p
切线BM的方程为：y-y2=
(x-x2)即y=x2 p
x-x2 p
②x2 2 2p
由①②联立解得M的坐标是（
，x1+x2 2
）x1x2 2p
（2）F（0，
），p 2
=（FM
，x1+x2 2
-x1x2 2p
），p 2
=（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，AB
），x2 2-x1 2 2p
•FM
=AB
+（x2 2-x1 2 2
-x2x1 2p
）p 2
③x2 2-x1 2 2p
由A，B，F三点共线得kAF=kBF∴
=y1- p 2 x1
，将y1=y2- p 2 x2
，y2=x1 2 2p
代入整理得x1x2=-p2④，x2 2 2p
把④代入③得
•FM
=0AB
（3）由（2）知FM⊥AB，故△ABM的面积为S=
AB×FM=1 2
（y1+1 2
+y2+p 2
，p 2
）=(
)2+(x1+x2 2
-x2x1 2p
)2p 2
（1 2
+p）x1 2+x2 2 2p
+x1 2+x2 2 4 p2 2
∵x12+x22≥2|x1x2|
∴x12+x22≥2p2（当且仅当x1=-x2时等号成立）
∴S的最小值是
p21 2