问题 解答题
已知椭圆C:x2+
y2
4
=1,过点M(0,1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.
(Ⅰ)若l与x轴相交于点P,且P为AM的中点,求直线l的方程;
(Ⅱ)设点N(0,
1
2
),求|
NA
+
NB
|的最大值.
答案

(Ⅰ)设A(x1,y1),

因为P为AM的中点,且P的纵坐标为0,M的纵坐标为1,

所以

y1+1
2
=0,解得y1=-1,(1分)

又因为点A(x1,y1)在椭圆C上,

所以x12+

y12
4
=1,即x12
1
4
=1
,解得x1
3
2

则点A的坐标为(

3
2
,-1)或(-
3
2
,-1
),

所以直线l的方程为4

3
x-3y+3=0,或4
3
x+3y-3=0

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),

NA
=(x1y1-
1
2
),
NB
=(x2y2-
1
2
)

所以

NA
+
NB
=(x1+x2y1+y2-1),

|

NA
+
NB
|  =
(x1x2)2+(y1+y2-1)2

当直线AB的斜率不存在时,

其方程为x=0,A(0,2),B(0,-2),此时|

NA
+
NB
|=1;

当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+1,

由题设可得A、B的坐标是方程组

y=kx+1
x2+
y2
4
=1
的解,

消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0,

所以△=(2k)2+12(4+k2)>0,x1+x2=

-2k
4+k2

y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=

8
4+k2

所以|

NA
+
NB
|2=(
-2k
4+k2
)2+(
8
4+k2
-1)2

=

-12k2
(4+ k2)2
+1≤1,

当k=0时,等号成立,即此时|

NA
+
NB
|取得最大值1.

综上,当直线AB的方程为x=0或y=1时,|

NA
+
NB
|有最大值1.

问答题
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