问题 解答题
已知{an}是等比数列,公比q>1,前n项和为Sn,且
S3
a 2
=
7
2
a4=4,数列bn满足:
abn2n+1
=2,n=1,2,…

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数数{bnbn+1}的前n项和为Tn,求证
1
3
Tn
1
2
(n∈N*)
答案

(I)

S3
a2
=
a1+a1q+a1q2
a1q
=
1+q+q2
q
=
7
2

∴整理得2q2-5q+2=0,解之得q=2(舍

1
2

由此可得a1=

a4
q3
=
1
2
,得数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-2

∴a2n+1=22n-1,结合a2n+1bn=2得bn=log a2n+12=

1
2n-1

可得{bn}的通项公式为bn=

1
2n-1

(II)根据(I)的结论,得

bnbn+1=

1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
1
2n-1
-
1
2n+1

可得Tn=

1
2
[(1-
1
3
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
2n-1
-
1
2n+1
)]=
1
2
(1-
1
2n+1

∵n∈N*,∴0<

1
2n+1
1
3
,得
2
3
≤1-
1
2n+1
<1

因此,Tn=

1
2
(1-
1
2n+1
)∈[
1
3
1
2
),

即不等式

1
3
Tn
1
2
(n∈N*)成立.

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