问题
解答题
已知{an}是等比数列,公比q>1,前n项和为Sn,且
(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数数{bnbn+1}的前n项和为Tn,求证
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答案
(I)
=S3 a2
=a1+a1q+a1q2 a1q
=1+q+q2 q
,7 2
∴整理得2q2-5q+2=0,解之得q=2(舍
)1 2
由此可得a1=
=a4 q3
,得数列{an}的通项公式为an=a1qn-1=2n-2,1 2
∴a2n+1=22n-1,结合a2n+1bn=2得bn=log a2n+12=
; 1 2n-1
可得{bn}的通项公式为bn=
; 1 2n-1
(II)根据(I)的结论,得
bnbn+1=
=1 (2n-1)(2n+1)
(1 2
-1 2n-1
)1 2n+1
可得Tn=
[(1-1 2
)+(1 3
-1 3
)+…+(1 5
-1 2n-1
)]=1 2n+1
(1-1 2
)1 2n+1
∵n∈N*,∴0<
≤1 2n+1
,得1 3
≤1-2 3
<11 2n+1
因此,Tn=
(1-1 2
)∈[1 2n+1
,1 3
),1 2
即不等式
≤Tn<1 3
(n∈N*)成立.1 2