（I）

S3

a2

=

a1+a1q+a1q2

a1q

=

1+q+q2

q

=

7

2

，

∴整理得2q²-5q+2=0，解之得q=2（舍

1

2

）

由此可得a₁=

a4

q3

=

1

2

，得数列{a_n}的通项公式为a_n=a₁q^n-1=2^n-2，

∴a_2n+1=2^2n-1，结合a2n+1bn=2得b_n=log a2n+12=

1

2n-1

；

可得{b_n}的通项公式为b_n=

1

2n-1

；

（II）根据（I）的结论，得

b_nb_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）

可得T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）

∵n∈N^*，∴0＜

1

2n+1

≤

1

3

，得

2

3

≤1-

1

2n+1

＜1

因此，T_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）∈[

1

3

，

1

2

），

即不等式

1

3

≤Tn＜

1

2

(n∈N*)成立．