（I）方法1：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

对抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x

所以，过抛物线上A、B两点的切线方程分别为：y=

1

2

x1(x-x1)+y1，y=

1

2

x2(x-x2)+y2，即y=

1

2

x1x-

1

4

x12，y=

1

2

x2x-

1

4

x22，解得M(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)．

又

AP

=λ

PB

(λ＞0)，得（-x₁，8-y₁）=λ（x₂，y₂-8），即

-x1=λx2 8-y1=λ(y2-8)

将式（1）两边平方并代入y1=

1

4

x12，y2=

1

4

x22得y₁=λ²y₂，再代入（2）得λy₂=8，解得y1=8λ，

y

2

=

8

λ

且有x₁x₂=-λx₂²=-4λy₂=-32，所以，点M的纵坐标为-8．

方法2：∵直线AB与x轴不垂直，设AB：y=kx+8．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

.由

y=kx+8 y= 1 4 x2.

可得x²-4kx-32=0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32

抛物线方程为y=

1

4

x2，求导得y′=

1

2

x．

所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=

1

2

x1，k2=

1

2

x2，∴MA：y-

1

4

x12=

1

2

x1(x-x1)；MB：y-

1

4

x22=

1

2

x2(x-x2)

解得：yM=

- 1 4 x 21 x2+ 1 4 x1 x 22

x2-x1

=

1

4

x1x2=-8

即点M的纵坐标为定值-8

（II）考虑到AB∥x轴时，显然要使∠AQP=∠BQP，则点Q必定在y轴上，

设点Q（0，t），此时kAQ=

y1-t

x1

，kBQ=

y2-t

x2

，

结合（1）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-32

故kAQ+kBQ=

x12 4 -t

x1

+

x22 4 -t

x2

=

x1x2(x1+x2)-4t(x1+x2)

4x1x2

=0对一切k恒成立

即：k（8+t）=0

故当t=-8，即Q（0，-8）时，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP