问题
解答题
已知椭圆C：
（它）求椭圆C的方程； （2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设m为椭圆C上一点，且满足
|
答案
（3）∵椭圆C：
+x2 a2
=3（a＞b＞r）的短轴长为2，离心率为y2 b2
，2 2
∴b=3，
=c a
，2 2
∵a2=b2+c2，
∴a=
，b=3，2
∴椭圆C的方程为
+y2=3…（3分）x2 2
（2）设G（x3，y3），H（x2，y2），
设直线y=k（x-2），联立椭圆，可得（3+2k2）x2-8kx+8k2-2=r
△=（-8k）2-q（3+2k2）（8k2-2）＞r，得k2＜
，…（5分）3 2
条件|
-PG
|＜PH
转换一下就是|2 5 3
|＜GH
，2 5 3
∵x3+x2=
，x3x2=8k 3+2k2 8k2-2 3+2k2
根据弦长公式，
•3+k2
＜(
)2-q•8k 3+2k2 8k2-2 3+2k2
，得到k2＞2 5 3
．…（3分）3 q
设P（x，y），则
∵
+OG
=tOH
，OP
∴（x3+x2，y3+y2）=t（x，y），
∴x=
（x3+x2），y=3 t
（y3+y2）3 t
根据x3+x2=
，x3x2=8k 3+2k2
，把x3，x2消成k，得P(8k2-2 3+2k2
，8k2 t(3+2k2)
)（9分）-qk t(3+2k2)
然后代入椭圆，得到关系式t2=
，…（33分）3qk2 3+2k2
∴t2=
，3q
+23 k2
∵
＜k2＜3 q
，3 2
∴实数t的取值范围为(-2，-
)∪(2 q 3
，2)…（33分）2 q 3