（1）当a=

1

3

，c=2时，f(x)=

1

3

x2+bx+2，

f（x）的图象与x轴有两个不同交点，

因为f（2）=0，

设另一个根为x₁，则2x₁=6，x₁=3．（2分）

则f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜3}．（4分）

（2）函数f（x）的图象与x轴有两个交点，因f（c）=0，

设另一个根为x₂，则cx2=

c

a

，于是x2=

1

a

．（6分）

又当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，

则三交点为(c，  0)，  (

1

a

，  0)，  (0，  c)，（8分）

这三交点为顶点的三角形的面积为S=

1

2

(

1

a

-c)c=8，且ac=

1

2

，

解得a=

1

8

，  c=4．（10分）

（3）当0＜x＜c时，恒有f（x）＞0，则

1

a

＞c，

所以f（x）在[0，c]上是单调递减的，且在x=0处取到最大值1，（12分）

要使f（x）≤m²-2m+1，对所有x∈[0，c]恒成立，

必须f(x)max=1≤m2-2m+1成立，所有m²-2m+1≥1，即m²-2m≥0，

解得m≥2或m≤0，而m＞0，

所以m的最小值为2．（16分）