问题
解答题
设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x2-x1的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x2．
答案
（本小题满分14分）
（Ⅰ）由x2+x+c=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）及c＞0得
可知：0＜c＜△=12-4c＞0 c＞0
…（2分）1 4
（Ⅱ）依根与系数的关系，得：
…（4分）x1+x2=-1 x1x2=c
又x2-x1＞0，所以，x2-x1=
=(x1+x2)2-4x1x2
，1-4c
∵0＜c＜
，∴1＞1 4
＞01-4c
∴0＜x2-x1＜1…（8分）
∴故x2-x1∈（0，1）
（Ⅲ）证：∵f（m）＜0且抛物线f（x）=x2+x+c的开口向上
∴x1＜m＜x2…（10分）
可知：m-x1＞0
而m+1＞m+（x2-x1）=（m-x1）+x2＞x2…（14分）