问题 解答题
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1.(a>b>0)
,其中短轴长和焦距相等,且过点M(2,
2
)

(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P(x0,y0)在椭圆C的外部,过P做椭圆的两条切线PM、PN,其中M、N为切点,则MN的方程为
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
.已知点P在直线x+y-4=0上,试求椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值.
答案

(1)设椭圆方程为

x 2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),

x2
2b2
+
y2
b2
=1,过点M(2,
2
),

4
2b2
+
2
b2
=1,

b=2,a=2

2

∴椭圆方程为

x2
8
+
y2
4
=1.

(2)设P(x0,y0),则x0+y0-4=0,即x0=4-y0

∵x+y-4=0与椭圆无交点,∴P在椭圆C的外部,

∴MN所在直线方程为

x0x
8
+
y0y
4
=1,

即x0x+2y0y-8=0,

设所求距离为d,且F(2,0),

d=

|2x0-8|
x02+4y02
=
|2y0|
5y02-8y0+16

=

2
16
y0 2
-
8
y 0 
+5
=
2
(
4
y0
-1)
2
+4

∴当y0=4时,dmin=1.

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