问题
解答题
已知椭圆C:
(1)求椭圆的标准方程; (2)若P(x0,y0)在椭圆C的外部,过P做椭圆的两条切线PM、PN,其中M、N为切点,则MN的方程为
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答案
(1)设椭圆方程为
+x 2 a2
=1(a>b>0),y2 b2
∵
+x2 2b2
=1,过点M(2,y2 b2
),2
∴
+4 2b2
=1,2 b2
∴b=2,a=2
,2
∴椭圆方程为
+x2 8
=1.y2 4
(2)设P(x0,y0),则x0+y0-4=0,即x0=4-y0,
∵x+y-4=0与椭圆无交点,∴P在椭圆C的外部,
∴MN所在直线方程为
+x0x 8
=1,y0y 4
即x0x+2y0y-8=0,
设所求距离为d,且F(2,0),
则d=
=|2x0-8| x02+4y02 |2y0| 5y02-8y0+16
=
=2
-16 y0 2
+58 y 0
,2 (
-1)2+44 y0
∴当y0=4时,dmin=1.