因为f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，

所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），

（1）若t=1，则f（x）=（x-1）²+1．

①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．

所以f（x）的取值范围为[1，2]；

②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．

所以f（x）的取值范围为[1，10]；

所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]．                     …（3分）

（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5”．

①若t=1，则f（x）=（x-1）²+1，

所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．

②当1≤a+1，即a≥0时，

由[f（x）]_max=f（a+2）=（a+1）²+1≤5，得-3≤a≤1，

从而 0≤a≤1．

③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]_max=f（a）=（a-1）²+1≤5，得-1≤a≤3，

从而-1≤a＜0．

综上，a的取值范围为区间[-1，1]．                             …（6分）

（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，

所以“对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等价于“M-m≤8”．

①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．

由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．

从而 t∈∅．

②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．

由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得

4-2

2

≤t≤4+2

2

．

从而  4-2

2

≤t≤2．

③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．

由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-2

2

≤t≤2

2

．

从而 2＜t≤2

2

．

④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．

由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．

从而 t∈∅．

综上，t的取值范围为区间[4-2

2

，2

2

]．                      …（10分）